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Kombinationen- und Permutationsrechner

Geben Sie die Anzahl der Felder (N) und die Anzahl der gewählten Felder (k) ein. Sie erhalten die exakte Anzahl der Kombinationen oder Permutationen – ausgeschrieben und in wissenschaftlicher Schreibweise – sowie die Chance, mit einem Tipp alles richtig zu haben. Beispiel: 6 aus 40 ergibt 3.838.380 Kombinationen.

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Was soll gezählt werden?

z. B. 40 Zahlen auf dem Schein (0–1000)

Ergebnis

3.838.380

Kombinationen C(40, 6)

Es gibt 3.838.380 verschiedene Möglichkeiten, 6 Felder aus 40 auszuwählen.

  • Kombinationen (Reihenfolge egal)Kombination – die Anzahl der Möglichkeiten, k Elemente aus N auszuwählen, wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt.
  • FormelC(40, 6) = 40! / (6! · (40 − 6)!) = 40! / (6! · 34!)
  • Gekürztes Produkt(40 · 39 · 38 · 37 · 36 · 35) / 6! = 2.763.633.600 / 720 = 3.838.380
  • Anzahl der Ziffern7
  • Chance, mit einem Tipp alles richtig zu haben1 zu 3.838.380 (0,0000261 %)
  • Zum Vergleich: Permutationen P(40, 6)2.763.633.600

Über dieses Tool

Kombination oder Permutation: Bei einer Kombination spielt die Reihenfolge keine Rolle – {1, 2, 3} und {3, 2, 1} sind derselbe Tipp –, daher C(N, k) = N! / (k! · (N − k)!). Eine Permutation zählt jede Reihenfolge einzeln: P(N, k) = N! / (N − k)!, also C(N, k) mal k!. Für 6 aus 40: C = 3.838.380 und P = 2.763.633.600 (720-mal mehr, denn 6 Zahlen lassen sich auf 720 Arten ordnen).

Lotto und ähnliche Spiele: Werden k von N Zahlen ohne Beachtung der Reihenfolge gezogen, ist C(N, k) die Zahl der möglichen Tipps, und die Chance auf alle Richtigen beträgt 1 zu C(N, k). 6 aus 49 hat 13.983.816 Kombinationen. Zusatz- und Superzahlen verändern die Gesamtzahl – maßgeblich sind die offiziellen Spielregeln.

Gerechnet wird exakt mit großen Ganzzahlen, selbst C(1000, 500) erscheint Ziffer für Ziffer. Passend dazu: Zufallszahlengenerator, Statistikrechner, Prozentrechner.

Formel

  • C(N, k) = N! / (k! · (N − k)!)
  • P(N, k) = N! / (N − k)! = C(N, k) · k!
  • Chance auf alle Richtigen = 1 / C(N, k)
  • Beispiel: C(40, 6) = 3.838.380; P(40, 6) = 2.763.633.600

So wird gerechnet

  1. Wählen Sie Kombinationen (Reihenfolge egal, wie beim Lottoschein) oder Permutationen (Reihenfolge zählt).
  2. Geben Sie die Gesamtzahl der Felder N und die Anzahl der gewählten Felder k ein.
  3. Der Rechner kürzt die Fakultäten auf ein Produkt aus k Faktoren, z. B. C(40, 6) = 40·39·38·37·36·35 / 6!.
  4. Das Ergebnis wird exakt mit großen Ganzzahlen berechnet und mit Tausendertrennung sowie bei langen Zahlen wissenschaftlich angezeigt.
  5. Bei Kombinationen sehen Sie zusätzlich die Chance, mit einem Tipp alle k Zahlen zu treffen: 1 zu C(N, k).

Fragen

Was ist der Unterschied zwischen Kombination und Permutation?

Bei der Kombination spielt die Reihenfolge keine Rolle (Lottoschein), bei der Permutation schon (Siegertreppchen, PIN). P(N, k) = C(N, k) × k!, daher ergibt 6 aus 40 3.838.380 Kombinationen, aber 2.763.633.600 Permutationen.

Wie viele Varianten hat eine Lotterie 6 aus 40?

C(40, 6) = 3.838.380. Zählen nur die sechs Hauptzahlen ohne Reihenfolge, hat ein Tipp eine Chance von 1 zu 3.838.380 auf alle sechs Richtigen. Echte Spiele haben oft Zusatzzahlen oder weitere Gewinnklassen – prüfen Sie die offiziellen Regeln.

Warum ist C(N, k) gleich C(N, N − k)?

Die k Elemente auszuwählen, die man behält, ist dasselbe wie die N − k auszuwählen, die man weglässt. Also C(40, 6) = C(40, 34) = 3.838.380 und C(N, 0) = C(N, N) = 1.

Warum wird das Ergebnis auch wissenschaftlich angezeigt?

Die Anzahlen wachsen extrem schnell: C(100, 50) hat schon 30 Stellen. Die volle Zahl ist immer exakt, ab 16 Stellen erleichtert eine Kurzform wie 1,009 × 10²⁹ das Lesen.

Quellen

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