Steigungsrechner
Geben Sie zwei Punkte ein und erhalten Sie die Steigung (Δy ÷ Δx), den y-Achsenabschnitt und die Geradengleichung in Normalform, Punkt-Steigungs-Form und allgemeiner Form, dazu Winkel, Abstand und Mittelpunkt – jeweils mit Rechenweg.
Standard ist Ihre Region. Wechseln Sie, um andere Skalen zu vergleichen.
Punkt 1 (x₁, y₁)
Punkt 2 (x₂, y₂)
Ergebnis
3/2 = 1,5
Steigung m
y = (3/2)x − 2
- Δx und ΔyΔx = 6 − 2 = 4; Δy = 7 − 1 = 6
- Steigung = Δy ÷ Δxm = 6 ÷ 4 = 3/2
- Steigung als Dezimalzahl1,5
- Steigung in Prozent150 %
- y-Achsenabschnitt bb = 1 − 3/2 × 2 = −2
- Normalform y = mx + by = (3/2)x − 2
- Mit Dezimalzahleny = 1,5x − 2
- Punkt-Steigungs-Formy − 1 = (3/2)(x − 2)
- Allgemeine Form3x − 2y = 4
- Nullstelle (x-Achsenabschnitt)(4/3; 0)
- Steigungswinkel θarctan(3/2) = 56,31° (0,9828 rad)
- Abstand der Punkte√(4² + 6²) = √52 = 2√13 ≈ 7,2111
- Mittelpunkt((2 + 6) ÷ 2; (1 + 7) ÷ 2) = (4; 4)
Steigende Gerade
Pro Einheit nach rechts steigt y um 3/2 (1,5).
Über dieses Tool
So wird die Steigung berechnet: Die Steigung der Geraden durch (x₁, y₁) und (x₂, y₂) ist der Höhenunterschied geteilt durch den Längenunterschied, m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁). Für (2, 1) und (6, 7) ergibt das 6 ÷ 4 = 3/2: Pro Einheit nach rechts steigt die Gerade um 1,5. Der Rechner arbeitet mit exakten Brüchen, Dezimalzahlen wie 0,1 und 0,4 liefern also saubere Ergebnisse ohne Rundungsfehler.
Die Geradengleichung: Der y-Achsenabschnitt ist b = y₁ − m·x₁, die Normalform also y = mx + b (hier y = (3/2)x − 2). Die Punkt-Steigungs-Form y − y₁ = m(x − x₁) verwendet direkt einen Ihrer Punkte, die allgemeine Form Ax + By = C ganze Zahlen (3x − 2y = 4). Eine waagerechte Gerade hat die Steigung 0 (y = c); bei einer senkrechten Geraden ist Δx = 0, die Steigung ist nicht definiert und die Gleichung lautet x = c.
Winkel, Abstand und Mittelpunkt: Der Steigungswinkel ist θ = arctan(m), gemessen von der positiven x-Achse; der Abstand ist nach Pythagoras √(Δx² + Δy²), wenn möglich als vereinfachte Wurzel (√52 = 2√13); der Mittelpunkt ist der Mittelwert der Koordinaten. Weitere Schulmathematik: Verhältnisrechner und Statistikrechner; für Noten der Notenrechner und der GPA-Rechner.
Formel
m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)b = y₁ − m·x₁ → y = mx + bPunkt-Steigungs-Form: y − y₁ = m(x − x₁)θ = arctan(m)d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)M = ((x₁ + x₂) ÷ 2, (y₁ + y₂) ÷ 2)Senkrechte Gerade (x₁ = x₂): Steigung nicht definiert, x = x₁
So wird gerechnet
- Geben Sie die Koordinaten zweier Punkte ein (negative Zahlen und Dezimalzahlen sind möglich).
- Bestimmen Sie Δx = x₂ − x₁ und Δy = y₂ − y₁.
- Teilen Sie: m = Δy ÷ Δx, als vollständig gekürzter Bruch. Ist Δx = 0, ist die Gerade senkrecht und die Steigung nicht definiert.
- Setzen Sie einen Punkt in b = y₁ − m·x₁ ein und schreiben Sie y = mx + b, die Punkt-Steigungs-Form und die allgemeine Form.
- Lesen Sie den Winkel θ = arctan(m), den Abstand √(Δx² + Δy²) und den Mittelpunkt ab.
Fragen
Wie berechnet man die Steigung aus zwei Punkten?
y-Werte und x-Werte in derselben Reihenfolge subtrahieren und teilen: m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁). Für (2, 1) und (6, 7): (7 − 1) ÷ (6 − 2) = 6 ÷ 4 = 3/2 = 1,5.
Wie stelle ich die Geradengleichung auf?
Berechnen Sie b = y₁ − m·x₁ und schreiben Sie y = mx + b. Mit m = 3/2 und dem Punkt (2, 1): b = 1 − 3/2 × 2 = −2, also y = (3/2)x − 2. Die Punkt-Steigungs-Form y − 1 = (3/2)(x − 2) und die allgemeine Form 3x − 2y = 4 beschreiben dieselbe Gerade.
Welche Steigung haben senkrechte und waagerechte Geraden?
Eine waagerechte Gerade hat Δy = 0, also Steigung 0 und die Gleichung y = c. Eine senkrechte Gerade hat Δx = 0; durch 0 kann man nicht teilen, daher ist ihre Steigung nicht definiert (weder unendlich noch 0) und die Gleichung lautet x = c.
Wie rechne ich die Steigung in Winkel oder Prozent um?
Der Winkel ist θ = arctan(m): Steigung 1 entspricht 45°, Steigung 3/2 etwa 56,31°. In Prozent ist es m × 100 – 3/2 sind also 150 %, und eine Straße mit 10 % Steigung hat m = 0,1 (etwa 5,71°).
Warum zeigt der Rechner Brüche?
Hausaufgaben und Prüfungen erwarten meist exakte Ergebnisse wie m = 2/3 oder b = −7/3 statt 0,6667. Der Rechner rechnet mit exakten Brüchen, kürzt sie vollständig und zeigt den Dezimalwert daneben – so haben Sie immer beide Formen.